Mantık ve Önermeler

Doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere “önerme” denir.

Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler denir.

Bir p önermesinin sonuna “değil” kelimesi getirerek hükmünün olumsuz yapılmasıyla elde
edilen yeni önermeye p önermesini olumsuzu (değili) denir.

En az iki önermenin “veya” , “ve” , “ise” , “ancak ve ancak” gibi bağlaçlardan en az birisi ile
birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere “bileşik önermeler” denir.

P ile q önermelerinden oluşan “p v q” bileşik önermesi, p ile q önermelerinden az biri doğru iken
doğru, p ile q önermelerinden her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

p ve q önermelerinden oluşan “p ^ q” bileşik önermesi , p ile q önermelerinden her ikisi
doğru iken doğru , diğer durumlarda yanlıştır.

^ ve v Bağlaçlarına Ait Özellikler

Tek Kuvvet Özelliği
pvp=p p^p=p

Değişme Özelliği
pvq=qvp p^q=q^p

Birleşme Özelliği
pv(q^r) v(p^q)vr
p^(qvr) ^(pvq)^r

Dağılma Özelliği
a) pv(q^r) =(pvq)^(pvr)
b) (p^q)vr =(pvr) ^(qvr)

De Morgan Kuralı
(pvq)' = p'^q' / (p^q)' = p'vq'

Totoloji ve Çelişki
Bir bileşik önermenin sonucu kendisini meydana getiren önermelerin bütün değerleri için 1
oluyorsa, bu bileşik önermeye totoloji; 0 oluyorsa, bu bileşik önermeye çelişki denir.

Matematik Sözlüğü

SÖZLÜK

– A –

açık önerme: İçinde değişken bulunan ve bu değişkene verilen değerlerle doğruluğu veya yanlışlığı belli olan önerme.
aksiyom: Doğruluğu ispatsız kabul edilen önerme.
alt küme: A kümesinin her elamanı B kümesinin de elemanı iseA, B nin alt kümesidir.
apsis: Analitik düzlemde bir noktanın dikey eksene olan uzaklığı.
ayrık kümeler: Kesişimleri boş olan kümeler.
açı: Başlangıç noktası ortak olan iki ışının birleşim kümesi.
argüment: Düzlemde bir karmaşık sayıyı orijine birleştiren ışının,x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı.
artan fonksiyon: Reel değişkenli bir fonksiyonda serbest değişken artarken, bunların görüntülerini de artıran fonksiyon.
analitik düzlem: Üzerine koordinat sistemi yerleştirilmiş düzlem.
aralarında asal polinom: P(x) ve Q(x) polinomlarının her ikisini de bölen (sabit olmayan) bir polinomun olmaması hali.
aralarında asal sayılar: Ortak bölenlerinin en büyüğü 1 olan en az iki tam sayıya denir.
asal sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan 1 den büyük pozitif tam sayılara denir.

– B –

bağımsız olaylar: İkisinden birisinin oluşu veya olmayışı diğerinin olma olasılığını etkilemeyen iki olay.
başlangıç noktası (orijin): Koordinat eksenlerinin kesiştikleri nokta.
bire bir eşleme: İki kümenin elemanları arasında bir elemana karşı bir eleman alınarak yapılan karşılaştırma.
birim çember: Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çember. Denklemi x2 + y2 = 1 dir.
bire bir fonksiyon: Farklı elemanları, farklı elemanlara götüren fonksiyon.
baş kat sayı: Bir polinomda en büyük dereceli terimin kat sayısı.
bire bir fonksiyon: Tanım kümesinde bulunan her farklı elemanı değer kümesinin farklı elemanlarına eşleyen fonksiyon.
birim eleman: A kümesi üzerinde bir D işlemi verildiğinde "x Î A olmak üzere x D e = e D x ise e birim elemandır.
birim (etkisiz) fonksiyon: Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyon.
birleşme özeliği: A üzerinde D işleminin "x, y, z, Î A içinx D (y D z) = (x D y) D z özeliği sağlanması.
bağıntı: Bir kartezyen çarpımın alt kümesi.
boş küme: Hiç elemanı olmayan küme.

– C - Ç –

çember: Bir düzlemdeki sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi.
çembersel permütasyon: Bir kümenin elemanlarının bir çember üzerindeki sıralanma biçimlerinden her birisi.
çıktı: Bir olasılık deneyinde, karşılaşılması mümkün olan durumlardan her birisi.
çözüm kümesi: Bir açık önermeyi sağlayan değerlerin kümesi.
çelişki: Doğruluk değeri daima yanlış (0) olan bileşik önerme.

– D –

denk polinomlar: Aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan polinomlar.
deklemi çözmek: Denklemin köklerinin bulma işlemi.
denklemin çözüm (doğruluk) kümesi: Bir deklemin köklerinin oluşturduğu küme.
diskriminant: ax2 + bx + c = 0 denkleminde
D = b2 – 4 ac sayısı
denklem sistemi: En az iki denklemin meydana getirdiği sistem.
değişme özeliği: A kümesi üzerinde verilen bir D işleminin "x, y Î A için x D y = y D x özeliğini sağlaması.
denk önermeler: Doğruluk değerleri aynı olan önermeler.
denklik bağıntısı: Yansıma, simetri ve geçişme özeliklerine sahip olan bağıntı.

– E –

eleman: Kümeyi oluşturan nesnelerin her biri.
eşitsizlik sistemi: En az iki eşitsizliğin meydana getirdiği sistem.
evrensel niceleyici: " sembolü ile gösterilir, "her" veya "bütün" anlamındadır.
esas ölçü: olmak üzere ölçüsü, q + k × 2p olan açının esas ölçüsü q dır. q Î [0 , 2p)
evrensel küme: Üzerinde çalışılan konuyla ilgili olan tüm elemanları içeren küme.
– F –

fonksiyon: Tanım kümesinin her elemanını, değer kümesinin yalnız bir elemanıyla eşleyen bağıntı.
faktöriyel: n bir doğal sayı olmak üzere 1 den n ye kadar (n dahil) bütün doğal sayıların çarpımı. (n!)
fonksiyonun tanım kümesi: f : A ® B fonksiyonunda, A kümesi.
fonksiyonun değer kümesi: f : A ® B fonksiyonunda, B kümesi.
fonksiyonun görüntü kümesi: f : A ® B fonksiyonunda, A nın elemanları ile eşlenmiş olan elemanların oluşturduğu küme.
fonksiyonun grafiği: Fonksiyona ait ikililerin analitik düzlemde meydana getirdiği şekil.

– G –

grad: Bir açı ölçüsü (400 eş parçaya ayrılan bir çemberin, bu parçalarından bir tanesini gören merkez açının ölçüsü).
gerektirme: p Ş q şartlı önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önerme gerektirmedir.geometrik yer: Aynı özelikleri taşıyan noktaların oluşturduğu küme

– H –

hipotez: p Ş q şartlı önermesinde p önermesi.
hüküm: p Ş q şartlı önermesinde q önermesi.

– İ –

içine fonksiyon: f : A ® B fonksiyonunda f(A) ¹ B ise f içine fonksiyondur.
indirgenemez polinom: Sabit olmayan en az iki polinomun çarpımı olarak yazılamayan polinom.
işlem: A ´ A nın bir alt kümesinden B ye fonksiyon.
ispat: Bir teoremin hükmünün doğru olduğunu gösterme.
irrasyonel sayı: Devirli ondalık açılımı olmayan sayı.
imkânsız olay: Olasılığı sıfır olan olay.

– K –

karakteristik: Bir sayının onluk logaritmasının tam kısmı.
kesin olay: Olasılığı 1 olan olay.
kalan sınıfları: kümesinin elemanları.

– M –

mantis: Bir sayının onluk logaritmasının ondalıklı kısmı. mantis m ise, m Î [0, 1) dir.

– O –

olasılık: Bir olayın olabilme şansını belirten sayı.
olay: Örneklem uzayın her alt kümesi.
ordinat: Analitik düzlemde bir noktanın yatay eksene olan uzaklığı.

– Ö –

önerme: Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadeler.
örten fonksiyon: Değer kümesindeki bütün elemanları tanım kümesinin en az bir elemanı ile eşlenen fonksiyon.
özalt küme: Bir kümenin kendinden farklı alt kümesi.
örneklem uzay: Bir olasılık deneyinde bütün çıkanların kümesi.
özdeşlik: Değişkenin her reel değeri için doğru olan eşitlik.

– P –

permütasyon: Bir kümenin tamamının ya da bir parçasının, elemanlarının sıralanma biçimlerinden her birisi.
parabol: , f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği.
polinom: Çokterimli, H(x) halkasının P(x) = a0 + a1x + ... + anxn elemanı.
polinom denklem: P(x) = 0 eşitliği.
polinomlarda E.B.O.B.: Sıfırdan farklı P(x) ve Q(x) polinomlarının her ikisini de bölen en büyük po- linom.
polinomlarda E.K.O.K.: Sıfırdan farklı olan ve sabit olmayan iki ya da daha çok polinomun, her birine tam olarak bölünebilen en küçük dereceli polinom.

– S –

sabit fonksiyon: Gürüntü kümesi bir elemandan oluşan fonksiyon.
sabit polinom: a ¹ 0 için P(x) = a polinomu
sayı doğrusu: Üzerine reel sayıların yerleştirildiği doğru.
sıralama bağıntısı: Yansıma, ters simetri ve geçişme özelikleri olan bağıntı.
sonlu küme: Eleman sayısı sayılabilir çoklukta olan küme.
sonsuz küme: Eleman sayısı sayılamayan çoklukta olan küme.
şartlı önerme: p Ş q şeklindeki bileşik önerme.
sanal birim: Karesi – 1 olarak düşünülen i sayısı.
sıralı ikili: İki nesnenin oluşturduğu eleman.

– T –

terim: Bir bilim dalı içinde özel anlamı olan kelime.
teorem: p º 1 olmak özere p Ş q gerektirmesi.
totoloji: Doğruluk değeri daima 1 olan bileşik önerme.
tümleyen küme: A Ì E olmak üzere, E de olup A da olmayan elemanların kümesi.

– Ü –

üstel fonksiyon: İçinde üslü bir ifade bulunduran ve bu ifadenin üssü değişken olan fonksiyon.

– V –

varlıksal niceleyici: $ sembolü ile gösterilir “bazı” veya “en az bir” şeklinde okunur.

Basit Eşitsizlikler

A. REEL (GERÇEL) SAYI ARALIKLARI

1. Kapalı Aralık



a < b olsun.
a ve b sayıları ile bu sayıların arasındaki tüm reel (gerçel) sayıları kapsayan aralık[a, b] veya a £ x £ b, x Î IR biçiminde gösterilir ve “a, b kapalı aralığı” diye okunur.

2. Açık Aralık ve Yarı Açık Aralık



i)
(a, b) veya a < x < b, x Î IR ifadesine açık aralık denir.
ii) (a, b) açık aralığının uç noktalarından herhangi birinin dahil edilmesiyle elde edilen aralığa yarı açık aralık denir.



[a, b) veya a £ x < b ifadesine sağdan açık aralık denir.

B. EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ

1) Bir eşitsizliğin her iki yanına aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik aynı kalır.
a < b
a + c < b + c
a – d < b – d dir.

2) Bir eşitsizliğin her iki yanı pozitif bir sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik aynı kalır. Negatif sayı ile çarpılırsa ya da bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
a < b
c > 0 ise, a . c < b . c
d <> b . d
k > 0 ise, a/k < b/k
m <> b/m

3) 0 <> 1/b>0

4) a <>1/a>1/b

5) a < 0 < b ise, 1/a<0<1/b

6) 0 < a < b ve n E IN+ ise, an < bn dir.

7) a < b < 0 ve n Î IN+ ise,
a2n > b2n
a2n+1 < b2n+1
(2n : Çift doğal sayıdır.)
(2n+1 : Tek doğal sayıdır.)

8) a < b ve b < c ise a < c dir.

9) 0 < a < 1 ve n Î IN+ – {1} ise, an < a dır.

10) a > b
+ c > d = a + c > b + d

11) 0 < a < b
x 0 < c < d = 0 < a . c < b . d

12) a . b < 0 ise, a ile b zıt işaretlidir.
13) a . b > 0 ise, a ile b aynı işaretlidir.

Temel Kavramlar ve Sayılar

A. SAYI

1. Rakam
Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

2. Sayı
Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.
Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı sayılar rakam değildir.

B. SAYI KÜMELERİ

1. Sayma Sayıları
{1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına sayma sayısı denir.

2. Doğal Sayılar
IN ={0, 1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına doğal sayı denir.

3. Pozitif Doğal Sayılar
IN+ = {1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına pozitif doğal sayı denir.
Pozitif doğal sayılar kümesi, sayma sayıları kümesine eşittir.

4. Tam Sayılar
Z = {... , – n , ... – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ... , n , ...} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir.
Tam sayılar kümesi; negatif tam sayılar kümesi : Z – , pozitif tam sayılar kümesi : Z+ ve sıfırı eleman kabul eden : {0} kümenin birleşim kümesidir.
Buna göre, Z = Z – È Z+ È {0} dır.

5. Rasyonal Sayılar
a ve b birer tam sayı ve b ¹ 0 olmak koşuluyla biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.
Q = { : a, b Î Z ve b ¹ 0} biçiminde gösterilir.

6. İrrasyonel Sayılar
Virgülden sonraki kısmı tahmin edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir.
Qı = { biçiminde yazılamayan sayılar: a, b Î Z ve b ¹ 0} biçiminde gösterilir.
Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayı yoktur.
sayıları birer irrasyonel sayıdır.

7. Reel (Gerçel) Sayılar
Rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kü-mesinin birleşimi olan kümeye reel (gerçel) sayılar kümesi denir.
IR = Q È Qı biçiminde gösterilir.

8. Karmaşık (Kompleks) Sayılar
C = {a + bi a, b Î IR ve i =Ö-1 } kümesinin her bir elemanına karmaşık sayı denir.

C. SAYI ÇEŞİTLERİ

1. Çift Sayı
n Î Z olmak koşuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tam sayılara çift sayı denir.
Ç = {... , – 2n , ... , – 4, – 2, 0, 2, 4, ... , 2n , ...}
biçiminde gösterilir.

2. Tek Sayı
n Î Z olmak koşuluyla 2n + 1 ifadesi ile belirtilen tam sayılara tek sayı denir.
T = {... , – (2n – 1), ... , – 3, – 1, 1, 3, ... , (2n – 1), ...} biçiminde gösterilir.
T : Tek sayı
Ç : Çift sayıyı göstersin.
T ± T = Ç
T ± Ç = T
Ç ± T = T
Ç ± Ç = Ç
T . T = T
T . Ç = Ç
Ç . T = Ç
Ç . Ç = Ç
T ± T = Ç
T ± Ç = T
Ç ± T = T
Ç ± Ç = Ç

Bölme işlemi için yukarıdaki biçimde bir genelleme yapılamaz.
Tek sayılar ve çift sayılar tam sayılardan oluşur.
Hem tek hem de çift olan bir sayı yoktur.
Sıfır (0) çift sayıdır.

3. Pozitif Sayılar, Negatif Sayılar
Sıfırdan büyük her reel (gerçel) sayıya pozitif sayı, sıfırdan küçük her reel (gerçel) sayıya negatif sayı denir.
Ü a < b < 0 < c < d olmak üzere,
a, b negatif sayılardır.
c, d pozitif sayılardır.
İki pozitif sayının toplamı pozitiftir. (c + d > 0)
İki negatif sayının toplamı negatiftir. (a + b < 0)
Çıkarma işleminde eksilen çıkandan büyük ise sonuç (fark) pozitif, eksilen çıkandan küçük ise fark negatif olur.
m – n ifadesinde m eksilen, n çıkandır.
Zıt işaretli iki sayıyı toplamak için; işaretine bakılmaksızın büyük sayıdan küçük sayı çıkarılır ve büyük sayının işareti sonuca verilir.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) pozitiftir.
Zıt işaretli iki sayının toplamı; negatif, pozitif veya sıfırdır.
Zıt işaretli iki sayının çarpımı (ya da bölümü) negatiftir.
Pozitif sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.
Negatif sayının tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir.

4. Asal Sayı
Kendisinden ve 1 den başka pozitif tam sayılara tam bölünmeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sayıları birer asal sayıdır.
En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur.
Asal sayıların çarpımı asal değildir.

5. Aralarında Asal
En az biri sıfırdan farklı en az iki , ortak bölenlerin eb büyüğü 1 olan tam sayılara aralarında asal sayılar denir.
a ile b aralarında asal ise, oranı en sade biçimdedir.

D. ARDIŞIK SAYILAR
Belirli bir kurala göre art arda gelen sayı dizilerine ardışık sayılar denir.
Ü n bir tam sayı olmak üzere,
Ardışık dört tam sayı sırasıyla;
n, n + 1, n + 2, n + 3 tür.
Ardışık dört çift sayı sırasıyla;
2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dır.
Ardışık dört tek sayı sırasıyla;
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir.
Üçün katı olan ardışık dört tam sayı sırasıyla;
3n, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 dur.
Ardışık Sayıların Toplamı
Ü n bir sayma sayısı olmak üzere,
Ardışık sayma sayılarının toplamı

Ardışık çift doğal sayıların toplamı
2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1)
Ardışık tek doğal sayıların toplamı
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
Artış miktarı eşit olan ardışık tam sayıların toplamı
r : İlk terim
n : Son terim
x : Artış miktarı olmak üzere,
Ardışık sayıların toplamı, sayı adedine bölünürse ortanca terim bulunur. Eğer sayı adedi çift ise, ortanca terim sayı dizisine ait değildir.

Denklem Kurma Problemleri

A. PROBLEM ÇÖZME STRATEJİSİ

Bir soruyu çözmek için verilen zamanın % 75 ini soruyu anlamaya, % 17 sini çözme yolunu oluşturmaya % 8 ini de soruyu çözmeye ayırmalısınız.

Buna göre, soruları çözerken;
1) Soru, verilenler ve istenen anlaşılana kadar okunur.
2) Verilenler matematik diline çevrilir.
3) Denklem çözme metodları ile matematik diline çevrilen denklem çözülür.
4) Bulunanın, soru cümlesinde istenen olup olmadığı kontrol edilir.

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME

Verilen problemin x, y, a, b, c gibi sembollerle ifade edilmesine matematik diline çevirme denir.

1) Herhangi bir sayı x olsun.
Sayının a fazlası : x + a dır.
Sayının a fazlasının yarısı :

Sayının yarısının a fazlası :

Sayının küpünün a eksiği : x3 – a dır.

2) Herhangi iki sayı x ve y olsun.
Bu iki sayının toplamının a katı : a . (x + y) dir.
Bu iki sayının kareleri toplamı : x2 + y2 dir.
Bu iki sayının toplamının karesi : (x + y)2 dir.

3) Ardışık tam sayılardan en küçüğü x olsun.
Ardışık üç tam sayının toplamı :

x + (x + 1) + (x + 2) dir.
Ardışık üç çift sayının toplamı :

x + (x + 2) + (x + 4) tür.

C. KESİR PROBLEMLERİ

a, b Î Z ve b ¹ 0 için ye kesir denir.

Herhangi bir sayı x olsun.
Bu sayının sı :

Bu sayının sının b fazlası :

Bu sayı kadar artırılırsa :

Bu sayının si ile sinin toplamı :


D. YAŞ PROBLEMLERİ

Bir kişinin yaşı x ise,
T yıl önceki yaşı : x – T
T yıl sonraki yaşı : x + T olur.
Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.
İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.
İki kişinin yaşları toplamı T yıl sonra 2T artar.
n kişinin yaşları toplamı T yıl sonra n . T artar.

E. İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

Bir işi;
A işçisi tek başına a saatte,
B işçisi tek başına b saatte,
C işçisi tek başına c saatte
yapabiliyorsa;

A işçisi 1 saatte işin sını bitirir.

A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir.

A, B, C birlikte t saatte işin sini bitirir.

Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.
A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,


Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.

A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.
Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor olsun.
Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte
sini doldurur.
Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.

F. HAREKET PROBLEMLERİ

V : Hareketlinin hızı
x : Hareketlinin V hızıyla t sürede aldığı yol
t : Hareketlinin V hızıyla x yolunu alma süresi ise,


Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda birbirine doğru hareket ederlerse karşılaşma süresi


Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin, aynı noktasından zıt yönde aynı anda hareket ederlerse karşılaşma süresi yine


Aralarında x km olan iki araç saatte V1 km ve V2 km hızla aynı anda aynı yönde hareket ederlerse arkadaki aracın (V1 hızlı araç) öndekini yakalama süresi



Bu iki araç aynı anda çembersel bir pistin aynı noktasından aynı yönde hareket ederse hızı büyük olan aracın hızı küçük olan aracı yakalama süresi yine






Eşit zamanda V1 ve V2 hızlarıyla alınan yolda hareketlinin ortalama hızı,

Belirli bir yolu V1 hızıyla gidip V2 hızıyla dönen bir aracın ortalama hızı,


G. YÜZDE PROBLEMLERİ

A sayısının % a sı :

A nın % a sı ile B nin % b sinin toplamı :

A ya A nın % a sı eklenirse :

A dan A nın % a sı çıkarılırsa :

H. FAİZ PROBLEMLERİ

F : Faiz miktarı
A : Ana para (Kapital)
n : Yıllık faiz oranı
t : Kapitalin faizde kalma süresi
olmak üzere,

t yılda,

t ayda,

t günde,

Faize yatırılan para her yıl getirdiği faiz ile birlikte tekrar faize yatırılırsa elde edilen toplam faize bileşik faiz denir.

Buna göre, A TL yıllık bileşik faiz oranı % n olan bir bankaya yatırılıyor. t yıl sonra

I. KARIŞIM PROBLEMLERİ



A kabında, tuz oranı % A olan x litrelik tuzlu su çözeltisi ile B kabında tuz oranı % B olan y litrelik tuzlu su çözeltisi, boş olan C kabında karıştırılırsa oluşan x + y litrelik karışımın tuz oranı

® Tuz oranı % A olan tuzlu su çözeltisinin su oranı % (100 – A) dır.

İşlem

A. TANIM Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem
denir.

A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili
işlem veya kısaca işlem denir.

İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨
, *, « gibi simgelerle gösterilir.

B. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

A kümesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim.

1. Kapalılık Özelliği

” a, b Î A için aDb nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi Dişlemine
göre kapalıdır.

2. Değişme Özelliği

“ a, b Î A için, aD b = bD a ise, Dişleminin değişme özelliği vardır.

3. Birleşme Özelliği

“ a, b, c Î A için aD (bD c) = (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme özelliği vardır.

4. Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği

“ x Î A için, xD e = e Dx = x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise,D işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir.

5. Ters Eleman Özelliği

Dişleminin etkisiz elemanı e olsun.

“ a Î A için, aD b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine
göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a^–1 biçiminde gösterilir.

b Î A ise,D xişlemine göre A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir.

• Birim elemanın tersi kendisine eşittir.
• Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.

6. Dağılma Özelliği

” a, b, c Î A için,

a _* (bD c) = (a_* b)D(a_*c) ise,

_* işlemininDişlemi üzerinde soldan dağılma özelliği vardır.

(aD b) _* c = (a_* c)D(b _* c) ise, _* işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma
özelliği vardır.

_* işleminin D işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa
_* işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

7. Yutan Eleman Özelliği

” x Î A için, xDi y = yDx = y olacak biçimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir.

y Î A ise,D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine
sahiptir.

Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.

C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde _*¶ işlemi aşağıdaki
tablo ile tanımlanmış olsun.

Ü b _* c nin
sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların
kesiştiği bölgedeki eleman, b _*c nin sonucudur.
Buna göre, b _* c = a dır.

Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki
elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa
A kümesi _* işlemine göre kapalıdır.

Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise,
_* işleminin değişme özelliği vardır.

Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun
ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır.

Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse
girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.

D. MATEMATİK SİSTEMLER

1. Tanım

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, _* işlemi
A da tanımlı olsun.

(A, _*) ikilisine matematik sistem denir.

2. Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı _* işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa,
A kümesi_* işlemine göre bir gruptur.

1. A, _* işlemine göre kapalıdır.
2. A üzerinde _* işleminin birleşme özelliği
   vardır.
3. A üzerinde _* işleminin birim (etkisiz)
   elemanı vardır.
4. A üzerinde _*işlemine göre her elemanın
   tersi vardır.A üzerinde tanımlı _* işleminin
   değişme özelliği de varsa (A,_*) sistemi
   değişmeli gruptur.

3. Halka

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi
üzerinde tanımlı D ve _* işlemleri aşağıdaki üç
koşulu sağlıyorsa (A, D, _*)
sistemi bir halkadır.

1. (A, D) sistemi değişmeli gruptur.
2. A kümesi_*işlemine göre kapalıdır.
3. _*işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği
   vardır.

Ü _* işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, _*) sistemi
değişmeli halkadır.

Ü _* işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, _*) sistemine birim halka denir.

Oran - Orantı

ORAN
a ve b reel sayılarının en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, ye a nın b ye oranı denir.

• Kesrin payı sıfır olabilir fakat paydası sıfır olamaz.
  
• Oranın payı ya da paydası sıfır olabilir.
  
• Oranlanan çoklukların birimleri aynı tür ya da aynı olmalıdır.
  
• Oranın sonucu birimsizdir.

ORANTI
En az iki oranın eşitliğine orantı denir. Yani oranı ile nin eşitliği olan ye orantı denir.
ise, a ile d ye dışlar, b ile c ye içler denir.

C. ORANTININ ÖZELLİKLERİ
1) ise a.d= b.c

3) m ile n den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere,

4) a : b : c = x : y : z ise,

ORANTI ÇEŞİTLERİ

1. Doğru Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir.
x ile y doğru orantılı ve k pozitif bir doğru orantı sabiti olmak üzere, y = k . x ifadesine doğru orantının denklemi denir. Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

İşçi sayısı ile üretilen ürün miktarı doğru orantılıdır.

Bir aracın hızı ile aldığı yol doğru orantılıdır.

2. Ters Orantılı Çokluklar
Orantılı iki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa ya da biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir.
x ile y ters orantılı ve k pozitif bir ters orantı sabiti olmak üzere, ifadesine ters orantının denklemi denir.

Bu denklemin grafiği aşağıdaki gibidir.

İşçi sayısı ile işin bitirilme süresi ters orantılıdır.

Bir aracın belli bir yolu aldığı zaman ile aracın hızı ters orantılıdır.

a, b ile doğru c ile ters orantılı ve k pozitif bir orantı sabiti olmak üzere,

ARİTMETİK ORTALAMA

n tane sayının aritmetik ortalaması bu n sayının toplamının n ye bölümüdür.
Buna göre, x1, x2, x3, ... , xn sayılarının aritmetik ortalaması,

Bu n tane sayının herbiri; A ile çarpılır, B ilave edilirse oluşan yeni sayıların aritmetik ortalaması Ax + B olur.

GEOMETRİK ORTALAMA

n tane sayının geometrik ortalaması bu sayıların çarpımının n. dereceden köküdür.
Buna göre,
x1, x2, x3, ... , xn sayılarının geometrik ortalaması

• a ile b nin geometrik ortalaması (orta orantılısı)
  
• a, b, c biçimindeki üç sayının geometrik ortalaması,
  

• a ile b nin aritmetik ortalaması geometrik ortalamasına eşit ise a = b dir.